偏导数

偏导数用于描述一个多元函数在某个维度的变化率。

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我们知道对于树上背包，若每个结点上只有总大小为 $O(1)$ 的物品，则总复杂度为 $O(n^2)$；若再限制背包大小为 $m$，则总复杂度为 $O(nm)$。

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关于树上背包的上下界优化，当时 fz 推荐我读的是 ouuan 的文章（cnblogs github pages），但是，我现在认为那里面的复杂度证明存在问题。

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Erdos-Ginzburg-Ziv Theorem

对任意 $2n-1$ 个整数，可以从中选出 $n$ 个使得这 $n$ 个数的和是 $n$ 的倍数。

形式化的，对任意 $a_1,\dots,a_{2n-1}\in \mathbb Z$，存在两两不同的 $i_1,\dots,i_n$ 使得：
$$
a_{i_1}+\dots+ a_{i_n}\equiv 0\pmod n
$$

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定义：对任意 $u,v$，存在 $u\to v$ 或 $v\to u$ 的有向图为竞赛图。也可以说是有向完全图。

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