[置顶] 2023 笔记
Catalan 数
Catalan 数表示为 $C_n$，有通项 $C_n=\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1}$ 和递推式 $C_n=\sum_{i=1}^nC_{i-1}C_{n-i}$，定义应该使用的是递推式。
Solution. LG5244 [USACO19FEB] Mowing Mischief P
Description
在 $T\times T$ 的正方形网格上（左下角格点坐标为 $(0,0)$，右上角为 $(T,T)$，共 $(T+1)^2$ 个格点），给定 $n$ 个关键点，保证横纵坐标都互不相同。要求选出尽可能多的关键点，使其按横坐标从小到大排序后，纵坐标也单调增。在此基础上，最小化以相邻两点为对角线的长方形面积总和。
$1\le n\le 2\times 10^5,1\le T\le 10^6$
再谈树上背包的上下界优化
关于树上背包的上下界优化，当时 fz 推荐我读的是 ouuan 的文章（cnblogs github pages），但是，我现在认为那里面的复杂度证明存在问题。
Solution. CF1817E Half-sum
Description
给定一个大小为 $n$ 的 multiset $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$，每次取出两个数 $x,y$ 将其删去然后插入 $\dfrac{x+y}{2}$，最终剩下两个数 $A,B$，试最大化 $|A-B|$。
$2\le n\le 10^6,0\le a\le 10^9$
Solution. LG3822 [NOI2017] 整数 / Trygub Numbers
Description
维护一个二进制数 $x$，支持两种操作：
- $x\gets x + a \cdot 2 ^ b$
- 询问 $x$ 第 $k$ 位的值
共 $n$ 次操作。
$1\le n\le 10^6,|a|\le10^9,0\le b,k\le30n$