Catalan 数

Catalan 数表示为 $C_n$，有通项 $C_n=\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1}$ 和递推式 $C_n=\sum_{i=1}^nC_{i-1}C_{n-i}$，定义应该使用的是递推式。

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这一场题目难度应该还是挺高的，而且细节很多，一共交了五发 unsuccessful submission，尤其是在 C 上浪费了很多时间，感觉这场 C 应该放在 D 后面比较合理，当然 C 如果思路正确做起来也很快，思维难度很难衡量。

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C. Swap Game

为了让游戏过程更直观，我们将游戏过程修改一下：$a_{1\dots n}$ 中有且仅有一个数 $a_t$ 被锁定，初始为 $a_1$，两人轮流从未被锁定的数中选择一个 $a_i$，如果 $a_i=0$ 则获胜，否则 $a_t\leftarrow a_t-1$ 且被锁定的数改为 $a_i$。

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顾名思义，这是一种结合 Vieta Theorem 即韦达定理的解题方式，通常用于数论，在 OI 中好像没啥应用，但是总有些无良出题人把 IMO 或者 TST 改成 OI 题。

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Description

以下区间均只考虑整数。

给定 $n,k$，将 $1\sim2^n$ 的 $2^n$ 个数划分为两个集合 $A$ 与 $B$，使得 $\forall p\in[0,k]$，有 $\sum_{x\in A}x^p=\sum_{x\in B}x^p$。

$1\le n\le16,0\le k<n$

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